Lý thuyết triều điều hòa

Trong phần nội dung này người thực hiện sẽ trình bày cơ sở lý thuyết triều được trình bày trong tài liệu The Oceanography of Tides của tác giả Zygmunt Kowalik and John Luick [1]. Nôi dung của bày viết gồm các 9 phần. Phần 1, người viết sẽ trình bày các định luật cơ bản trong vật lý và mối liên hệ của chúng với cơ chế thủy triều trên trái đất thông qua quá trình tương tác giữa các lực. 


1. Các định luật Newton và Kepler: 
Định luật 2 Newton đưa ra mối liên hệ giữa lực và gia tốc thông qua công thức . Với một vật rơi tự do trên bề mặt trái đất, gia tốc được tạo ra bởi lực trọng trường thường được ký hiệu là g và vì vậy:
Với
và m là khối lượng của vật rơi tự do.

Định luật vạn vật hấp dẫn Newton trình bày về khả năng hút (hấp dẫn) lẫn nhau giữa hai khối lượng m₁ và m₂ lực hấp dẫn tỷ lệ thuận với tích của 2 vật thể và tỷ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa các trọng tâm của vật thể (l). Trong trường hợp vật rơi có khối lượng m và trái đất với khối lượng M_e, chúng ta có:
Với G là hằng số hấp dẫn. Tại bề mặt trái đất l = r_e và từ hai định luật trên ta có:
Khối lượng của trái đất là 5.97 x 10²⁴ kg và đường kính là 6.371 x 10⁶ m. Do đó, ta có thể xác định được giá trị của hằng số hấp dẫn là:
Khối lượng của mặt trời và mặt trăng so với trái đất là: Mặt trời = 33240; Trái đất  = 1; Mặt trăng = 1/81.53.

Định luật Kepler 1 phát biểu rằng quỹ đạo của một hành tinh có hình ellipse và một trời sẽ nằm trên một tiêu điểm của nó. Quan sát hình bên dưới ta sẽ thấy một quỹ đạo ellipse của một hành tinh chuyển động quanh mặt trời. Các khoảng cách A'C = AC = a là bán kinh trục lớn, khoảng cách từ tâm C đến tiêu điểm là bán kính tiêu cự ae. Ta có e = ae/a là tâm sai của ellipse.  
Khoảng cách ngắn nhất của hành tinh đến mặt trời là điểm cận nhật (perihelion), được xác định bằng công thức sau:
Tại điểm viễn nhật (aphelion), hành tinh sẽ có khoảng cách xa mặt trời nhất:
Trong trường hợp trái đất, tâm sai của quỷ đạo là e = 0.01674. Trong hình vẽ ta ký hiệu khoảng các từ trọng tâm S từ mặt trời đến trong tâm P của hành tinh là l, vector bán kính  hướng từ S đến P và góc ASP (từ điểm cận nhật theo hướng ngược chiều kim đồng) là Φ, phương trình ellipse trong hệ tọa độ cực (l,Φ) [2] là:
Góc Φ thường được gọi là góc dị thường (true anomaly) của hành tinh. Với Φ = 0º (tại cận nhật), l = SA; với Φ = 180º, l = SA'.
Xem xét hệ tọa cực như hình vẽ. Gốc tọa độ đặt tại trọng tâm của mặt trời, vector bán kính /l từ đi mặt trời đến hành tinh. Vector  biểu diễn hướng đọc theo lộ trình của hành tinh và vector trực giao với . Để định nghĩa các thành phần vận tốc của hành tinh P khi duy chuyển trên một quãng đường đủ nhỏ ds dọc theo một cung từ 1 đến 2. Vector vận tốc:
gồm 2 thành phần theo hướng tiếp tuyến và pháp tuyến như sau:
Đặt v = v_s, thành phần của vector gia tốc là:
Đặt M_s là khối lượng của mặt trời M_p là khối lượng của hành tinh, lực hấp dẫn khi đó là:
Với chuyển động tròn ta có lực ly tâm như sau:

Định luật Kepler 2 phát biểu rằng đường nối một hành tinh với Mặt trời quét qua những diện tích bằng nhau trong những khoảng thời gian bằng nhau [3]. Đặt  là vector moment của lực _g và vector bán kính :
Trong trường hợp 2 vector được cho là cùng phương ta có N = 0.

Để hành tinh chuyển động quanh mặt trời tổng các vector lực tác dụng lên hành tinh phải là 0, nói một cách khác:
Nhân hữu hướng phương trình cho vector bán kính , ta thu được:
Do đó nguyên hàm của phương trình trên sẽ là:
Vì   rất nhỏ nên góc tạo bởi vector bán kính và vận tốc ≈ 90º. Và như vậy:
Diện tích hình rẽ quạt S12 sấp xỉ diện tích hình tam giác nội tiếp bên trong nó:
Thay vào công thức moment ở trên ta được:
Đây chính là công thức của định luật Kepler 2. Và hệ quả từ công thức này là hành tinh của chúng ta sẽ duy chuyển nhanh khi càng gần điểm cận nhật và chậm khi càng gần điểm viễn nhật.

2. Các lực tạo triều: 
Dao động triều trong đại dương được gây bởi, lực hấp dẫn của mặt trăng và mặt trời. Mặc dù để hiểu rõ bản chất của lực tạo triều một cách chi tiết trong hiện tượng thủy triều tại các thủy vực khác nhau đòi hỏi kiến ​​thức của nhiều thành phần bao gồm độ sâu và lực ma sát. Xét trong trường hợp đơn giản, chúng ta giả sử rằng hiện tượng triều chỉ gây bởi mặt trăng. Như đã biết trọng tâm của trái đất và mặt trăng di chuyển quanh trọng tâm chung của lực hấp dẫn (barycenter). Chính xác, hệ thống này là một  hệ thống hành tin kép di chuyển xung quanh trọng tâm chung. Trọng tâm chung mặt trăng và trái đất nằm ở vị trí xấp xĩ 3/4 bán kính của trái đất tính từ tâm. Để tìm vị trí của trọng tâm chung, ta hãy xét hình sau:
Trong đó r_oe là khoảng cách từ trọng tâm chung đến trọng tâm trái đất và r_om là khoảng cách từ trọng tâm chung đến trọng tâm mặt trăng.
Tọa độ của trọng tâm chung r_c được xác định bởi:
Đặt gốc tọa độ tại trung tâm của quả đất, ta có r_c = r_oe, r₁ = 0, r₂ = l = r_oe + r_om. Phương trình trên trở thành:
Khoảng cách trung bình giữa trong tâm mặt trăng và trọng tâm trái đất gần 60 lần bán kính trái đất, l = 60.3r_e. Với M_e = 81.53M_m, như vậy r_oe = 60/82 r_e.

Mặt trăng và trái đất được khóa chặt với nhau với chu kỳ quay là khoảng một tháng. Hệ thống mặt trăng  - trái đất được giữ ở thế cân bằng động bởi hai lực. Một trong chúng là lực ly tâm:
Với M có thể là khối lượng của mặt trăng hoặc trái đất, V là vận tốc của trái đất hoặc mặt trăng và r_o là bán kính của quỹ đạo của trái đất (khi đó r_o = r_oe) hoặc mặt trăng (r_o = r_om). Thành phần còn lại là lực hấp dẫn F_g, với hệ thống mặt trăng trái đất là:
Với l = r_oe + r_om là khoảng cách giữa trọng tâm trái đất và trọng tâm mặt trăng một biến phụ thuộc vào thời gian. Để hệ thống mặt trăng trái đất cân bằng vector tổng của hai lực trên phải bằng 0 tại cả trọng tâm trái đất và mặt trăng. Do đó:

Các chuyển động quay xung quanh trọng tâm chung của lực hấp dẫn hơi khác với chuyển động xoay của bánh xe. Khi trái đất và mặt trăng quay quanh trọng tâm chung tuy nhiên các điểm chúng không xoay quanh tâm riêng của mình (vì hạn chế của tiếng việt người dịch sẽ tạm dịch revolution là quay và rotation là xoay, 2 khái niệm này là khác nhau). Để giải thích vấn đề sự quay, Darwrin [5] và Defant[6] dựa vào hình minh họa sau:
Xét hai điểm A và B trên mặt đất, chúng sẽ có tâm quay không trùng với tâm quay của trọng tâm O₁ của trái đất (trong trường hợp này tâm của O₁   là O₂). Điều này hoàn toàn khác với chuyển xoay trong đó mọi điểm trên vật thể điều có chung một trọng tâm. Tuy nhiên các bán kính quay của các điểm là như nhau và có giá trị là r = r_o. Do đó, đối với từng điểm trên mặt đất lực ly tâm tại chúng là như nhau.
Như vậy, mỗi điểm trong chuyển động quay điều chụi tác dụng của lực hướng tâm theo hướng song song và có độ lớn là như nhau. Sự ổn định của hệ thống mặt trăng  - trái đất cần phải có tổng lực hướng tâm và tổng lực hấp dẫn là 0. Phát biểu này là đúng tại trọng tâm, tuy nhiên tại mọi điểm trên bề mặt của trái đất và mặt trăng các lực này không cân bằng và vì vậy tạo ra lực gây triều. Quan sát hình sau ta sẽ thấy rõ điều này.
Để xác định các lực gây triều, ta xét một khối lượng m trên mặt đất như hình trên. Lực ly tâm F_ω là giống nhau tại mỗi điểm trên mặt đất và chúng sẽ bằng với lực hấp dẫn mà mặt trăng gây lên trên khối lượng m nằm tại tâm trái đất:
Lực của hấp dẫn thực sự của mặt trăng với khối lượng m nằm tại bề mặt trái đất là:
Chiếu những lực này lên phương tiếp tuyến tại bề mặt của mặt đất như hình trên ta có:
và:
trong đó Z là góc thiên đỉnh. Cộng các lực trên ta sẽ dẫn ra lực tạo triều F_t:
Áp dụng định lý hàm sin cho tam giác O₁mO₃ ta có và định lý góc ngoài ta có:
Từ phương trình trên ta có thể dẫn ra giá trị của biểu thức sin(Z+α) theo sin Z, như vậy:
Áp dụng định lý hàm cos cho tam giác O₁mO₃ ta có thể xác định khoảng cách r như sau:
Với tỷ số thị sai xích đạo (equatorial parallax ratio) với mặt trăng r_e/l là một số rất nhỏ (1/60.3) và con số này đối với mặt trời càng nhỏ hơn:
, số hạng bậc cao của chúng sẽ được bỏ qua (r_e²/l² ≈ 1/3600). Chuyển phương trình trên thành dạng nhị thức bằng công thức xấp xỉ Bernoulli [6] ta đạt được:
Như vậy thành phần theo phương ngang của lực tạo triều sẽ có giá trị là:
Tương tự ta có thể suy ra thành phần lực tạo triều theo hướng pháp tuyển tại bề mặt trái đất là:
Ta đưa vào khái niệm thế năng triều Ω bằng lực trên một đơn vị khối lượng (F/m):
Hệ tọa độ được chọn như hình bên trên, với hướng pháp tuyến rời xa trái đất và hướng tiếp tuyến dọc theo hướng của F_ωt, ta có:
Sử dụng hai phương trình trên ta xác định được biểu thức của thế năng triều:
Biểu thức này là xấp xỉ bậc nhất. Với hệ thống mặt trời - trái đất biểu thức thế năng được xác định một cách tương tự. Tuy nhiên do mặt trăng gần trái đất hơn nên có ảnh hưởng quan trọng hơn. Trong trường hợp không sử dụng sấp xỉ Bernoulli, thế năng triều sẽ có dạng là:
Để xác định độ lớn của lực tạo triều so với lực trọng trường tác dụng lên khối lượng m trên mặt trái đất, ta sử dụng mối quan hệ giữa gia tốc trọng trường và hằng số hấp dẫn như được giới thiệu tại chương 1 thay vào biểu thức lực tạo triều F_t (với giá trị sin2Z đạt cực đại), độ lớn của F_t là:
với mặt trăng lực tạo triều là F_t = 8.43x10^-8 mg, với mặt trời F_t = 3.87x10^-8 mg
Như vậy lực tạo triều của mặt trăng và mặt trời là rất nhỏ so với gia tốc trọng trường. Lực tạo triều do mặt trăng gấp 2.2 lần so với mặt trời. Như vậy lực tạo triều tác lên một người đàn ông nặng 100 kg lớn nhất sẽ là 12.3 mg. Để hiểu tại sao một lực nhỏ như vậy lại có ảnh hưởng lớn cơ chế động lực của đại dương, chúng ta cần nhớ rằng lực tạo ra bởi áp suất gây ra độ dâng mực nước do hiện tượng bão cũng có độ lớn tương đương.

3. Thuyết cân bằng triều:
Thuyết cân bằng triều có nguồn gốc từ các công trình của Newton, sau đó được phát triển bởi Bernoulli, Euler và Maclaurin [7]. Xem xét giả thuyết rằng toàn bộ địa cầu được bao phủ bởi nước và có sự cân bằng giữa áp suất thủy tỉnh và ngoại lực. Khi đó, thay đổi của mực nước được định nghĩa bởi phương trình đơn giản sau:
Trong đó là độ dâng của bề mặt tự do so với mực nước trung bình. Mối quan hệ giữa góc và dây cung cho ta biểu thức sau
Từ biểu thức lực tạo triều F_t đã dẫn ra ở chương trên ta có:
và dạng tích phân:
c là hằng số cần xác định trong tích phân trên. Giả sử triều không thay đổi thể tích nước, hằng số trên có thể được xác định theo biểu thức sau [8]:
Công thức trên ngụ ý tổng độ dâng theo phương tiếp tuyến là 0. Và từ mối quan hệ này ta dẫn ra c = -1/2, và như vậy giá trị độ dâng mực nước sẽ là:
với
Với mặt trăng giá trị K ≈ 0.54, với mặt trời K ≈ 0.24. Tổng hợp ảnh hưởng của mặt trăng và mặt trời ta được K ≈ 0.79. Quan hệ giữa độ dâng mực nước và thế năng triều là:

Kết hợp phương trình độ dâng mực nước với bán kính của trái trong tọa độ cực ta thu được dạng hình ellipsoid như hình sau:
Trong trường hợp sóc vọng (syzygy) tại điểm 1 và 2, khi đó Z = 0 và Z = π tương ứng với giá trị triều cực đại:
Trong trường hợp trực thế (quadrature) tại điểm 3 và 4, khi đó Z = π/2 và Z = 3π/2 tương ứng với giá trị triều cực tiểu:
Các lý luận ở trên có nguồn gốc từ các công trình của Newton, tuy nhiên được đề xuất lần đầu tiên bởi Bernoulli vào năm 1740. Ông đã giải thích nhiều đặc tính của triều như tính tuần hoàn, sự không điều giữa đỉnh nước cao và thấp liền kề. Dựa vào công trình này, về sau các nhà nghiên cứu và đặc biệt là các kỹ sư hải dương đã tính toán và xây dựng chúng thành bảng triều. Lý thuyết này được gọi là thuyết triều cân bằng.

Trong trường hợp đơn giản, chúng ta hãy ứng dụng lý thuyết trên lên một con kênh có chiều dài bằng xích đạo (khoảng 40,000 km), để đi qua hết con kênh này trong vòng 24h cần có một vận tốc là 1,667 km/h. Vận tốc sóng dài được định nghĩa là 
Trong 24h, để sóng triều duyệt qua hết xích đạo thì độ sâu của đại dương cần có là 21.8km. Tuy nhiên trong thực tế độ sâu của đại dương chỉ ở mức sấp xỉ 4 km, do đó vận tốc truyền sóng triều trung bình chỉ là 200 m/s, với chu kỳ là 24 giờ thì bước sóng sẽ khoảng 18 000 km. Qua ví dụ này ta thấy sóng chiều dài sóng triều lớn hơn gấp nhiều lần so với độ sâu đại dương. Với những sóng dài, chuyển động của nó sẽ bị ảnh hưởng của bởi ma sát tại dáy và sẽ chậm hơn so với lực hấp dẩn gây ra bởi.

Lực tạo triều và thế năng là hàm của góc thiên đỉnh. Để đưa góc này vào công thức ta cần có hệ tọa độ biểu diễn quan hệ của các vật thể bên ngoài và vị trí của người qua sát. Trong hình sau, tại điểm O nằm trên thiên cầu đúng với vị trí đỉnh đầu của người quan sát.
Thiên đỉnh (zenith) ZN và điểm đối xứng của nó được gọi là thiên đế (nadir) ND. Đường thẳng nối tâm trái đất với cực bắc và tiếp tục cắt thiên cầu tại điểm gọi là điểm cực bắc thiên cầu (NP), điểm đối xứng của nó được gọi là cực nam thiên cầu. Như vậy có hai hệ thống tọa độ dược dùng trên thiên cầu: hệ tọa địa phương ứng với người quan sát (màu đỏ) bao gồm thiên đỉnh, thiên đế và mặt phẳng chân trời (horizon); hệ tọa độ tổng quát (màu xanh lá) bao gồm cực bắc cực nam và mặt phẳng xích đạo. Cả hai tọa độ này điều có vai trò quan trọng trong việc tính toán triều. Kinh tuyến của người quan sát là sự kết hợp của cực bắc, thiên điểm và cực nam.

Mặt trời, mặt trăng và các hành tinh mọc lên từ phía đông, từ đó duy chuyển lên thiên cầu qua kinh tuyến của người quan sát và giảm cao trình. Độ nghiên của mặt trăng, mặt trời hoặc bất cứ vật thể nào trên thiên cầu được ký hiệu là δ, là góc giữa mặt phẳng xích đạo đọc theo kính tuyến của vật thể đến vị trí mà vật thể nằm trên thiên cầu. Trong trường hợp mặt phẳng mà mặt trời đi qua được gọi là đường hoàng đạo. Với mặt trời độ nghiên là góc giữa xích đạo và hoàng đạo. Độ nghiên của các vật thể khác được đo theo các tương tự như là vĩ độ của người quan sát. Mối quan hệ giữa góc thiên đỉnh Z với vị trí vật thể trên thiên cầu và người quan sát được trình bày rõ trong hình kế tiếp với 3 kinh tuyến chính bao gồm: kinh tuyến của người quan sát, kinh tuyến của vật thể trên thiên cầu (còn được gọi là vòng giờ) và kinh tuyến Greenwich.
Đầu tiên góc giờ được định nghĩa như góc nằm trên đường xích đạo từ vị trí kính tuyến của người quan sát đến kinh tuyến của vật thể trên thiên cầu, nó cũng bao gồm các góc S, NP, ZN trên thiên cầu. Góc giờ được từ vật thể trên thiên cầu tới kinh tuyến của người quan sát, giá trị này sẽ tăng đến giá trị 360º khi trọn một ngày. Hơn thế nữa nó có quan hệ kinh độ và thời gian. Kinh độ của người quan sát được đo từ kinh tuyến Greenwich theo hướng đông. Thời gian được do từ phía tây của kinh tuyến Greenwich đến kinh tuyến của vật thể trên thiên cầu theo hướng đông.

Ký hiệu góc giờ và α, kinh tuyến của người quan sát là λ và góc thời gian của vật thể trên thiên cầu là t, có thể viết:
Với T là chu kỳ của vật thể trên thiên cầu để quay trở lại kinh tuyến của vật thể. Thời gian này gần bằng 1 ngày nhưng sẽ khác nhau giữa mặt trời và mặt trăng. Trước khi tiến hành phát triển công thức dành cho góc thiên đỉnh ta chú ý đến tầm quan trọng của điểm này trên thiên cầu trong việc tính toán. Đây là giao điểm của bề mặt xích đạo γ. Đây là điểm đầu tiên của cung Bạch dương (Aries) hoặc xuân phân khi mặt trời đi qua xích đạo từ cực nam đến cực bắc. Điểm này thường được xem như điểm bắt đầu của hệ tọa độ để tính kinh độ của vật thể trên thiên cầu. Kinh độ được tính theo chiều dương hướng đông từ γ.

Từ tam giác cầu S, NP, ZN như hình trên, góc thiên đỉnh được xác định theo định luật cosin trong tam giác cầu [9] như sau:
Góc thiên đỉnh được xác định theo độ nghiên của mặt trăng hoặc mặt trời, vĩ độ của người quan sát và góc giờ là chìa khóa để đưa công thức cân bằng triều về các tham số sẳn có. Thay phương trình trên vào phương trình cân bằng triều sau:
ta có:
Triều có thể chia làm 3 thành phần dựa vào tần số, thành phần thứ nhất:
không bao gồm góc giờ (vì không phụ thuộc vào kinh độ), phụ thuộc vào độ nghiên của vật thể (cụ thể ở đây là mặt trời hoặc mặt trăng) và vĩ độ của người quan sát. Quá trình phụ thuộc vào vĩ độ đạt giá trị cực đại tại cực và cực tiểu tại vĩ độ ± 35°16'. Độ nghiên δ thay đổi theo tháng trong trường hợp mặt trăng và theo năm trong trường hợp mặt trời. Giá trị :
có chu kỳ bằng nữa chu kỳ trên. Như vậy đây là số hạng ảnh hưởng đến chu kỳ nữa tháng hoặc nữa năm. Số hạng thứ hai:
phụ thuộc vào góc giờ độ nghiên và vĩ độ. Góc cosα phụ thuộc vào góc giờ chứng tỏ rằng đây là số hạng tạo ra dao động nhật triều. Sự phụ thuộc vĩ độ tạo ra triều cực đại tại vĩ độ ± 45° và cực tiểu tại xích đạo và tại 2 cực. Độ nghiên sẽ làm thay đổi độ biến thiên của biên độ một cách từ từ và dấu của độ biến thiên sẽ thay đổi từ dương sang âm khi vật trên thiên cầu duy chuyển qua xích đạo từ Bắc bán cầu đến Nam bán cầu. Trong tất cả ba số hạng, khoảng cách l thay đổi theo tháng với mặt trăng (theo năm với mặt trời) phù hợp với chuyển động elliptic thông thường của vật thể trên thiên cầu. Số hạng thứ ba:
tạo ra thành phần chu kỳ bán nhật tỷ lệ với cos2α khi đó α là góc giờ sẽ duy chuyển được 360° trong một ngày mặt trăng (hoặc mặt trời). Mực nước biển cũng phụ thuộc vào độ nghiên δ của vật thể trên thiên cầu vĩ độ φ của vật thể. Sự thay đổi độ nghiên theo chu kỳ bán nhật là chậm. Số hạng bán nhật tỷ lệ với cos²δ và đạt cực đại khi vật thể ở xích đạo và đạt cực tiểu tại cực.

Nếu giữa lại các thành phần được bỏ qua trong sấp xỉ Bernoulli, các thành phần có tần số cao hơn (ví dụ như thành phần tứ nhật triều...) sẽ xuất hiện trong biểu thức triều. Đến đây ta bắt đầu bước sang quá trình tính toán cho triều cân bằng dưới dạng các thành phần điều hòa. Tuy nhiên để làm được điều này, ta cần xem qua quỷ đạo chuyển động của mặt trăng và mặt trời.

4. Quỷ đạo của trái đất và mặt trăng:
Mực nước biển được tạo ra bởi lực triều là hàm của các của đối số thiên văn. Như chúng ta thấy, thành phần chính trong số này là sự quay của mặt trăng quanh trái đất, của trái đất quanh mặt trời và sự quay của trái đất quanh trục của nó. Kết quả là ta được 3 chu kỳ triều theo năm, theo tháng và theo ngày.

Quỷ đạo của trái đất quay quanh mặt trời là hình ellipse với tâm sai e = 0.01674. Khoảng cách ngắn nhất theo trục chính tại điểm cận nhật sẽ đạt vào ngày 2/1 và xa nhất tại điểm viễn nhật vào ngày 2/7. Ta có thể xem tại hình bên dưới. Do sự phụ thuộc của triều vào khoảng cách này dẫn đến lực tạo triều do ảnh hưởng của mặt trời sẽ lớn hơn vào mùa đông. Chu kỳ của quá trình này là 365.24 ngày. Trong suốt một năm, mặt trăng sẽ hoàn thành mười hai lần quay quanh quỷ đạo của nó quanh trái đất với chu kỳ là 29.5 ngày.
Đối với hệ thống mặt trăng trái đất điểm ngắn nhất được gọi là điểm cận địa và xa nhất là điểm viễn địa. Tai sai của quỷ đạo mặt trăng là [b]e = 0.055[\b]. Do đó, ellipse mặt trăng có độ giản dài lớn hơn so với mặt trời. Điều này sẽ mang đến sự khác nhau lớn của lực triều tại vị trí cận địa và viễn địa. Tỷ số của lực triều tại cận địa và viễn địa là 1.4:1 cho mặt trang và 1.11:1 cho mặt trời. Sự quay của trái đất với chu kỳ là 24 giờ cũng là một nhân tố quan trọng trong lực tạo triều.

Không có một chuyển động nào diễn ra tại mặt phẳng xích đạo. Một trong nhiều nghuyên nhân ảnh hưởng đến chu kỳ triều thì độ dốc của hoàng đạo với xích đạo và độ dốc của quỷ đạo mặt trăng với xích đạo là quan trọng nhất. Hình sau cho thấy độ nghiên được định nghĩa như độ dốc của hoàng đạo (quỷ đạo của mặt trời trên thiên cầu) với mặt phẳng xích đạo.
Độ nghiên của hoàng đạo thay đổi từ 23°27' Bắc đến 23°27' Nam so với xích đạo. Đối với mặt trăng độ nghiên này tăng thêm 5°7', tức khoảng thay đổi độ nghiên của mặt trăng là 28°36' đến 18°18'. Giới hạn này đạt được mổi chu kỳ 18.6 năm. Mặt phẳng của quỷ đạo mặt trăng trong suốt một tháng giao với hoàng đạo tại ít nhất hai điểm được gọi là điểm nút. Nếu toàn bô hệ thống chỉ bao gồm mặt trăng và trái đất, mặt trăng sẽ lặp lại cùng quỷ đạo với điểm nút là giống nhau.

Ảnh hưởng của mặt trời sẽ làm rối loạn quỷ đạo mặt trăng. Kết quả của sự nhiểu loạn là các điểm nút sẽ không nằm ở một vị trí cố định. Chúng duy chuyển về phía Tây trên hoàng đạo và kết thúc một chu kỳ sau 18.6 năm. Đây chính là một giai đoạn chính của quá trình tạo triều.

Chu trình hàng tháng của mặt trăng là duy chuyển từ vĩ độ  28°36' Bắc đến 28°36' Nam và có ảnh hưởng lên nhật triều và bán nhật triều với chu kỳ một tháng. Trong suốt môt ngày vị trí của mặt trăng trên thiên cầu sẽ thay đổi rất ít như vậy xấp xỉ bậc nhất có thể giả sử rằng hình dạng của bao triều là không đổi trong một kỳ nhật triều. Elipsoid triều gắn chặt với mặt trăng, nhưng do bởi độ nghiên của mặt trăng được quan sát bởi một điểm cố định trên trái đất đang xoay sẽ tạo ra nhiều mực nước biển cho elipsoid triều. Để đặc tả ảnh hưởng hảy xét một ellipsoid được tạo bởi mặt trăng (hoặc mặt trời) khi mặt trăng không nằm trên mặt phẳng xích đạo điều đó có nghĩa là độ nghiên khi đó không bằng zero. Hình sau là một ví dụ được đề bởi Dronker 1964[10].
Xét một điểm quan sát trên bề mặt trái đất nằm tại xích đạo. Bởi sự quay hàng ngày điểm này sẽ dịch chuyển theo vòng tròn vĩ độ của xích đạo. Mực nước cao (HW) xảy ra khi điểm quan sát chạy  qua bên dưới mặt trăng và điểm dối diện với điểm này ở mặt bên kia trái đất. Mực nước thấp nhất xảy ra khi

Tài liệu tham khảo:

[1] [You must be registered and logged in to see this link.]
[2] [You must be registered and logged in to see this link.]
[3] [You must be registered and logged in to see this link.]
[4] Darwin, G. H. 1901. The Tides. John Murray, London, 346pp.
[5] Defant, A. 1960.Physical Oceanogra phy , vol. II, Pergamon Press, Oxford, 598pp.
[6] [You must be registered and logged in to see this link.]
[7] Cartwright, D. E. 1999. Tides, A Scientific History. Cambridge University Press, 292pp.
[8] Proudman, J. 1953. Dynamical Oceanography , Methuen& Co., London, 409pp.
[9] https://en.wikipedia.org/wiki/Spherical_trigonometry
[10] Dronkers, J. J. 1964.Tidal Computations. North-Holland Publishing Company, Amsterdam, 518pp.