Bài toán triều trong kênh dài vô hạn

Đầu tiên mình sẽ dẫn lại hệ phương trình chủ đạo của bài toán triều từ mô hình nước nông - Shallow water model (Động lực học chất lỏng đại vật lý - La Thị Cang, trang 91):

với h là độ cao tính từ đỉnh sóng đến dáy.
Vì sóng triều chỉ truyền theo phương x và không kể đến lực Coriolis, nên ta bỏ qua các số hạn v và f, vậy hệ phương trình sẽ trở thành:

Đặt: h = H z với: H là mực triều trung bình, z là độ dâng mặt nước.

Thay vào phương trình chủ đạo ta được:

Phân tích quy mô:

U: là quy mô vận tốc triều
L: là quy mô chiều dài kênh
∆H là quy mô độ dâng mặt nước
Bỏ qua số hạng phi tuyến bậc cao (số hạng thứ 2 của pt (1), số hạng thứ 3, 4 pt (2))
Ta thu được hệ phương trình tuyến tính bậc nhất sau:

Và chính là hệ phương trình chủ đạo của bài toán trong kênh.
[You must be registered and logged in to see this link.]

Xuất phát từ hệ phương trình chủ đạo này, đạo hàm pt (1) theo x, pt (2) theo t rồi thay vào nhau ta thu được:

với :

là vận tốc lan truyền sóng.
Đây là bài toán Cauchy (bài toán sợi dây rung) và nghiệm theo phương pháp D'Alembert là:

Phương trình Đạo hàm riêng trong vật lý - Nguyễn Nhật Khanh, trang 26.
Tạm gác số hạng thứ nhất trong lời giải tổng quát.
Xét điểm có tọa độ x = x0 tại thời điểm ban đầu t = 0 :

Tại điểm x = x0 c, sau khoảng thời gian 1 giây:

Vậy sau 1 giây, sóng đã truyền được 1 khoảng là c so với khoảng cách ban đầu hay nói cách khác vận tốc sóng là c (vận tốc sóng là vận tốc truyền pha dao dộng)
Lưu ý: c hoàn toàn khác với u là vận tốc của các hạt nước trong kênh theo phương x
Trở về lời giải tông quát, giải sử f là một hàm điều hòa, ta có:

Đặt:

với:

T là chu kỳ, λ là bước sóng

Tương tự với vận tốc dòng triều u, ta thu được:

Bây giờ ta hãy xét trường hợp A=1 , B=0:

Vận tốc dòng triều cùng pha với dao động mực nước. Khi z = z_max - độ dâng mực nước đạt giá trị cao nhất (hoặc thấp nhất) thì u = u_max - vận tốc của dòng triều tương ứng đạt giá trị cực đại. Đây là trường hợp của sóng tiến.

Trường hợp A = B = 1/2:


Khi t = 0, T/2, T, ..., nT/2:
z = z_max = cos(kx) (nước lớn hay nước ròng) => u = u_min = 0 (nước đứng)
Khi t = T/4 = 3T/4, ..., [(n 1/2)T]/2:
z = z_min = 0 (mực nước đạt giá trị trung bình) => u = u_max (vận tốc triều đạt giá trị cực đại).

Xét theo không gian, tại những điểm có x = 0, λ/2, λ..., nλ/2 (những điểm cách đầu kênh 1 số nguyên lần nữa bước sóng):
z = z_max - mực nước dao động với biên độ cực đại, đây là các điểm bụng sóng.
Khi x = λ/4, 3λ/4..., [(n 1/2)λ]/2 (những điểm cách đầu kênh 1 số bán nguyên lần nữa bước sóng):
z = z_min = 0, là những điểm hầu như không dao động (điểm nút sóng).
Và đây là trường hợp sóng đứng.

Với từng trường hợp cụ thể, ta sẽ áp điều kiện biên (hữu hạn, vô hạn, bị chặn một đầu...) của kênh vào bài toán trên để thu được lời giải chính xác. Ngoài ra nếu giử lại số hạng Coriolis trong hệ phương trình chủ đạo ban đầu và xét bài toán trên mặt phẳng 2 chiều ta sẽ có mô hình "Động lực học sóng tuyến tính":

Vấn đề này sẽ trình bày ở bài cụ thể trong sóng Kelvin.

Tài liệu tham khảo:

• Nhập môn động lực học chất lỏng Địa Vật lý - La Thị Cang
  
• Phương trình Toán Lý - Nguyễn Nhật Khanh
  
• Động lực học biển (phần 3) - Phạm Văn Huấn